Упр.88 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 88. После экзамена 10 одноклассников обсуждали решение самой трудной задачи, и каждый из них выяснил, что его ответ совпал как минимум с четырьмя одноклассниками. Можно ли быть уверенным, что все они дали одинаковый ответ?

Подробный ответ

Обозначим ответы одноклассников как вершины графа: соединим двух учеников ребром, если у них совпали ответы. Тогда у каждого из 10 учеников степень не меньше $$4$$, потому что его ответ совпал как минимум с четырьмя одноклассниками.

Если бы существовали разные ответы, то можно было бы разбить учеников на группы по одинаковым ответам. В каждой группе размер не меньше $$5$$, иначе ученик из меньшей группы не смог бы иметь совпадения хотя бы с четырьмя одноклассниками. Но тогда при 10 учениках возможны только две группы по $$5$$ человек.

Однако в этом случае ученик из одной группы совпадает только с четырьмя одноклассниками своей группы, а с учениками другой группы ответ не совпадает. Значит, чтобы у каждого было не меньше $$4$$ совпадений, обе группы должны быть полными, и все ответы внутри каждой группы одинаковы. Но тогда при двух группах по $$5$$ человек условие выполняется только в случае, если все 10 учеников дали один и тот же ответ.

Следовательно, все они дали одинаковый ответ.