Упр.70 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 70. В чемпионате города по футболу участвует 12 команд. Чемпионат проводится в один круг. Докажите, что в любой момент проведения чемпионата всегда найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

В чемпионате участвуют 12 команд, и каждая команда может сыграть в данный момент от $$0$$ до $$11$$ матчей.

Предположим, что все 12 команд сыграли разное число матчей. Тогда возможны только числа

$$0,1,2,\dots,11.$$

Но если какая-то команда уже сыграла $$11$$ матчей, то она сыграла со всеми остальными командами, значит, ни одна команда не может иметь $$0$$ сыгранных матчей. Следовательно, числа $$0$$ и $$11$$ одновременно встречаться не могут.

Значит, различных значений числа сыгранных матчей может быть не больше $$11$$, а команд — $$12$$. По принципу Дирихле найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

Ответ

Да, всегда найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.