Упр.66 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Докажите, что стандартное отклонение любого числового набора не больше, чем его размах.

Обозначим стандартное отклонение через $$s$$, а размах набора через $$R$$. Тогда

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n}}, \qquad R=\max(x_i)-\min(x_i).$$

Для любого значения $$x_i$$ среднее $$\overline{x}$$ лежит между минимальным и максимальным элементами набора, поэтому

$$\min(x_i)\le \overline{x}\le \max(x_i).$$

Следовательно, расстояние от любого элемента до среднего не превосходит половины размаха:

$$|x_i-\overline{x}|\le \frac{R}{2}.$$

Тогда для каждого $$i$$

$$(x_i-\overline{x})^2\le \left(\frac{R}{2}\right)^2.$$

Суммируя по всем $$i$$, получаем

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\le n\left(\frac{R}{2}\right)^2.$$

Делим на $$n$$ и извлекаем квадратный корень:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n}\le \left(\frac{R}{2}\right)^2,$$

откуда

$$s\le \frac{R}{2}.$$

Так как $$\frac{R}{2}\le R$$, то

$$s\le R.$$

Ответ

Стандартное отклонение любого числового набора не больше его размаха: $$s\le R$$.