Упр.65 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

1, 2, 3, 4, х.
Найдите для этого ряда дисперсию и стандартное отклонение, выразив их через х. Нарисуйте графики этих зависимостей. При каком значении х они достигают минимума?

Подробный ответ

Найдём среднее арифметическое чисел $$1,\,2,\,3,\,4,\,x$$:

$$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+x}{5}=\frac{10+x}{5}=2+\frac{x}{5}.$$

Теперь вычислим среднее значение квадратов:

$$\overline{x^2}=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+x^2}{5}=\frac{1+4+9+16+x^2}{5}=\frac{30+x^2}{5}=6+\frac{x^2}{5}.$$

Дисперсия:

$$D=\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2=6+\frac{x^2}{5}-\left(2+\frac{x}{5}\right)^2.$$

Упростим:

$$ D=6+\frac{x^2}{5}-\left(4+\frac{4x}{5}+\frac{x^2}{25}\right) =2-\frac{4x}{5}+\frac{4x^2}{25} =\frac{4x^2-20x+50}{25}. $$

Стандартное отклонение:

$$ \sigma=\sqrt{D}=\sqrt{\frac{4x^2-20x+50}{25}}=\frac{1}{5}\sqrt{4x^2-20x+50}. $$

Для нахождения минимума удобно выделить квадрат:

$$ D=\frac{4x^2-20x+50}{25} =\frac{4(x^2-5x)+50}{25} =\frac{4\left((x-\frac52)^2-\frac{25}{4}\right)+50}{25} =\frac{4(x-\frac52)^2+25}{25}. $$

Так как $$\left(x-\frac52\right)^2\ge 0,$$ то

$$D\ge 1,$$

и минимум дисперсии достигается при

$$x=\frac52.$$

Поскольку функция $$\sqrt{t}$$ возрастает при $$t\ge 0,$$ то стандартное отклонение также минимально при $$x=\frac52.$$

При этом

$$D_{\min}=1,\qquad \sigma_{\min}=1.$$

График $$D(x)=\frac{4x^2-20x+50}{25}$$ — парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке $$\left(\frac52,1\right)$$. График $$\sigma(x)=\frac15\sqrt{4x^2-20x+50}$$ также имеет минимум при $$x=\frac52$$.