Упр.63 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что дисперсия числового набора может быть вычислена по формуле $$\sigma^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$$, где $$\bar{x}$$ — среднее арифметическое всех заданных чисел, а $$\overline{x^2}$$ — среднее арифметическое квадратов этих чисел.

Подробный ответ

Пусть дан числовой набор $$x_1, x_2, \dots, x_n.$$ Обозначим его среднее арифметическое через $$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,$$ а среднее арифметическое квадратов этих чисел — через $$\overline{x^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2.$$

По определению дисперсии:

$$D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2.$$

Раскроем квадрат разности:

$$D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i^2-2x_i\overline{x}+\overline{x}^2\right).$$

Разобьём сумму на части:

$$D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{2\overline{x}}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\overline{x}^2.$$

Так как $$\overline{x}$$ не зависит от $$i,$$ то

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\overline{x}^2=\overline{x}^2,$$

а также

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\overline{x}.$$

Тогда

$$D=\overline{x^2}-2\overline{x}\cdot \overline{x}+\overline{x}^2 =\overline{x^2}-\overline{x}^2.$$