Упр.60 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 60. Докажите, что если каждое число в заданном наборе умножить на одну и ту же константу, то дисперсия умножится на квадрат этой константы. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 bunimovich10 60 95

Подробный ответ

Пусть дан набор чисел $$a_1, a_2, \dots, a_n$$, а его среднее арифметическое равно $$\overline{a}$$. Тогда дисперсия этого набора:

$$D(a)=\frac{(a_1-\overline{a})^2+(a_2-\overline{a})^2+\dots+(a_n-\overline{a})^2}{n}.$$

Теперь умножим каждое число на одну и ту же константу $$k$$. Получим набор $$ka_1, ka_2, \dots, ka_n$$.

Его среднее арифметическое равно:

$$\overline{ka}=\frac{ka_1+ka_2+\dots+ka_n}{n}=k\cdot \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}=k\overline{a}.$$

Найдём дисперсию нового набора:

$$ D(ka)=\frac{(ka_1-\overline{ka})^2+(ka_2-\overline{ka})^2+\dots+(ka_n-\overline{ka})^2}{n}. $$

Подставим $$\overline{ka}=k\overline{a}$$:

$$ D(ka)=\frac{(ka_1-k\overline{a})^2+(ka_2-k\overline{a})^2+\dots+(ka_n-k\overline{a})^2}{n}. $$

Вынесем $$k$$ из каждой скобки:

$$ D(ka)=\frac{k^2(a_1-\overline{a})^2+k^2(a_2-\overline{a})^2+\dots+k^2(a_n-\overline{a})^2}{n}. $$