Упр.59 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 59. Докажите, что если каждое число в заданном наборе увеличить на одну и ту же константу, то дисперсия не изменится.

Пусть дан набор чисел $$x_1, x_2, \dots, x_n$$, а их среднее арифметическое равно $$\overline{x}$$.

Если к каждому числу прибавить одну и ту же константу $$a$$, получим новый набор:

$$x_1+a,\; x_2+a,\; \dots,\; x_n+a.$$

Найдём его среднее арифметическое:

$$ \overline{x+a}=\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+\dots+(x_n+a)}{n} =\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+a =\overline{x}+a. $$

Теперь рассмотрим отклонения новых чисел от их среднего:

$$ (x_i+a)-(\overline{x}+a)=x_i-\overline{x}. $$

Значит, все отклонения от среднего остались теми же самыми. Тогда дисперсия нового набора равна:

$$ D’=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl((x_i+a)-(\overline{x}+a)\bigr)^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2 =D. $$

Следовательно, при прибавлении к каждому числу одной и той же константы дисперсия не изменяется.

Ответ

Дисперсия не изменится.