Упр.57 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите средний возраст игроков, дисперсию и стандартное отклонение.
б) По ходу матча произошла замена: вместо самого старшего игрока на поле вышел молодой игрок, которому всего 17 лет. Как изменились все числовые характеристики, найденные в предыдущем пункте?
в) Что произойдёт со средним, дисперсией и стандартным отклонением возраста, если команда «Вымпел» выйдет на игру ровно через год в том же самом составе?

Подробный ответ

Обозначим возраста игроков: один игрок — $$28$$ лет, пятеро — по $$25$$ лет, остальные пятеро — по $$20$$ лет.

а) Найдём средний возраст:

$$ \overline{x}=\frac{28\cdot 1+25\cdot 5+20\cdot 5}{11}=\frac{28+125+100}{11}=\frac{253}{11}=23. $$

Найдём среднее значение квадратов возрастов:

$$ \overline{x^2}=\frac{28^2\cdot 1+25^2\cdot 5+20^2\cdot 5}{11} =\frac{784+3125+2000}{11} =\frac{5909}{11}=537. $$

Тогда дисперсия:

$$ D=\overline{x^2}-\overline{x}^2=537-23^2=537-529=8. $$

Стандартное отклонение:

$$ \sigma=\sqrt{D}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83. $$

б) После замены возраста игроков такие: один — $$25$$ лет, пять — по $$25$$ лет, пять — по $$20$$ лет, и один — $$17$$ лет.

Средний возраст:

$$ \overline{x}=\frac{25\cdot 6+20\cdot 5+17}{11} =\frac{150+100+17}{11} =\frac{267}{11}=24{,}27\ldots $$

Но удобнее считать по сумме возрастов: вместо $$28$$ лет появился игрок $$17$$ лет, значит сумма уменьшилась на $$11$$. Тогда

$$ \overline{x}=\frac{253-11}{11}=\frac{242}{11}=22. $$

Среднее значение квадратов:

$$ \overline{x^2}=\frac{25^2\cdot 6+20^2\cdot 5+17^2}{11} =\frac{3750+2000+289}{11} =\frac{6039}{11}=549. $$

Дисперсия:

$$ D=549-22^2=549-484=65. $$

Стандартное отклонение:

$$ \sigma=\sqrt{65}\approx 8{,}06. $$

в) Если команда выйдет на игру через год в том же составе, то возраст каждого игрока увеличится на $$1$$ год. Средний возраст увеличится на $$1$$, а дисперсия и стандартное отклонение не изменятся.