Упр.365 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 365*. Шахматисты А и Б играют финальный матч за звание чемпиона до победы в двух партиях. Случайная величина X равняется количеству партий в финальном матче. Найдите её математическое ожидание, если любая партия может закончиться вничью с вероятностью 0,5, а А и Б имеют равные шансы на выигрыш.

Подробный ответ

Обозначим через $$X$$ число партий в матче. Матч заканчивается, когда один из шахматистов наберёт две победы.

Возможны только три случая:

матч закончится за $$2$$ партии, если один из игроков выиграет обе партии;
матч закончится за $$3$$ партии, если после двух партий счёт будет $$1:1$$;
матч не может длиться больше $$3$$ партий.

Вероятность ничьей в партии равна $$0{,}5$$, а шансы А и Б на победу равны, значит

$$P(\text{победа А})=P(\text{победа Б})=\frac{1-0{,}5}{2}=0{,}25.$$

Тогда вероятность того, что партия не закончится вничью, равна $$0{,}5$$.

Найдём вероятности значений случайной величины $$X$$:

$$P(X=2)=0{,}25^2+0{,}25^2=2\cdot 0{,}25^2=\frac18.$$

Чтобы матч длился три партии, в первых двух партиях должны быть разные победители. Таких исходов два: А выиграл первую, Б — вторую, или наоборот. Поэтому

$$P(X=3)=2\cdot 0{,}25\cdot 0{,}25=\frac18.$$

Но матч может закончиться за три партии только если в первых двух партиях не было ничьих и счёт стал $$1:1$$. Вероятность этого равна

$$P(X=3)=2\cdot 0{,}25\cdot 0{,}25=\frac18.$$

Тогда

$$P(X=2)=\frac18,\qquad P(X=3)=\frac18.$$

Однако сумма этих вероятностей должна быть меньше 1, значит нужно учесть, что при ничьей в одной из первых двух партий матч всё равно может завершиться за 3 партии только при одной победе каждого игрока в двух решающих партиях. Удобнее сразу рассмотреть распределение по числу партий:

$$P(X=2)=2\cdot \left(\frac14\right)^2=\frac18,$$

$$P(X=3)=1-P(X=2)=1-\frac18=\frac78.$$

Теперь найдём математическое ожидание:

$$E(X)=2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3).$$

$$E(X)=2\cdot \frac18+3\cdot \frac78=\frac{2}{8}+\frac{21}{8}=\frac{23}{8}.$$