Упр.364 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. В руке зажимают $$2n$$ травинок так, чтобы их концы торчали сверху и снизу. Верхние $$2n$$ концов случайным образом разбивают на пары и связывают каждую пару травинок между собой. Потом то же самое делают с нижними концами. Рука разжимается. Чему равно математическое ожидание числа получившихся колец?

Обозначим через $$X$$ число получившихся колец. Рассмотрим одну травинку. У неё есть два конца: верхний и нижний.

Если, двигаясь от верхнего конца, мы каждый раз переходим по склейке к другой травинке, то кольцо получится тогда и только тогда, когда в итоге вернёмся к исходной травинке. Для первой травинки это происходит всегда, поэтому одно кольцо есть обязательно.

Для второй травинки вероятность «присоединиться» к уже образованному кольцу равна $$\frac{1}{3}$$, для третьей — $$\frac{1}{5}$$, и так далее. В результате математическое ожидание числа колец равно сумме этих вероятностей:

$$E(X)=1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}.$$

Это и есть искомое математическое ожидание.

Ответ

$$1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$$