Упр.358 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

При каком значении параметра $$p$$ дисперсия бинарной случайной величины будет наибольшей? наименьшей?

В следующих задачах для вычисления математического ожидания представьте случайную величину как сумму других, более простых случайных величин.

Пусть бинарная случайная величина $$X$$ принимает значения $$0$$ и $$1$$ с вероятностями $$1-p$$ и $$p$$ соответственно.

Тогда

$$M(X)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p,$$

а дисперсия равна

$$D(X)=M(X^2)-\bigl(M(X)\bigr)^2.$$

Так как для значений $$0$$ и $$1$$ имеем $$X^2=X,$$ то

$$M(X^2)=M(X)=p,$$

следовательно,

$$D(X)=p-p^2=p(1-p).$$

Рассмотрим функцию $$D(p)=p(1-p)$$ при $$0\le p\le 1$$:

$$D(p)=p-p^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:

$$p=\frac{1}{2}.$$

На концах отрезка $$[0,1]$$ дисперсия равна

$$D(0)=0,\qquad D(1)=0.$$

Значит, наименьшая дисперсия получается при $$p=0$$ или $$p=1$$.

Ответ

Наибольшая дисперсия при $$p=\frac{1}{2}$$, наименьшая — при $$p=0$$ и $$p=1$$.