Упр.357 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Решите предыдущую задачу, если $$X$$ — это наибольшая из двух цифр.

Если случайная величина $$X$$ — наибольшая из двух цифр, то возможны значения $$1,2,\dots,9$$.

Для каждой цифры $$k$$ найдём число пар цифр, у которых наибольшая цифра равна $$k$$:

• для $$k=1$$ — одна пара $$(1,1)$$;
• для $$k=2$$ — три пары;
• для $$k=3$$ — пять пар;
• для $$k=4$$ — семь пар;
• для $$k=5$$ — девять пар;
• для $$k=6$$ — одиннадцать пар;
• для $$k=7$$ — тринадцать пар;
• для $$k=8$$ — пятнадцать пар;
• для $$k=9$$ — семнадцать пар.

Всего пар $$90$$, поэтому

$$P(X=1)=\frac{1}{90},\quad P(X=2)=\frac{3}{90},\quad P(X=3)=\frac{5}{90},\quad P(X=4)=\frac{7}{90},$$
$$P(X=5)=\frac{9}{90},\quad P(X=6)=\frac{11}{90},\quad P(X=7)=\frac{13}{90},\quad P(X=8)=\frac{15}{90},\quad P(X=9)=\frac{17}{90}.$$

Найдём математическое ожидание:

$$E(X)=\frac{1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5+4\cdot7+5\cdot9+6\cdot11+7\cdot13+8\cdot15+9\cdot17}{90} =\frac{570}{90}=\frac{19}{3}.$$

Найдём $$E(X^2)$$:

$$E(X^2)=\frac{1^2\cdot1+2^2\cdot3+3^2\cdot5+4^2\cdot7+5^2\cdot9+6^2\cdot11+7^2\cdot13+8^2\cdot15+9^2\cdot17}{90} =\frac{4050}{90}=45.$$

Тогда дисперсия:

$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 =45-\left(\frac{19}{3}\right)^2 =45-\frac{361}{9} =\frac{44}{9}.$$

Среднее квадратичное отклонение:

$$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{44}{9}}=\frac{2\sqrt{11}}{3}\approx 2{,}21.$$

Ответ

$$E(X)=\frac{19}{3},\quad D(X)=\frac{44}{9},\quad \sigma(X)=\frac{2\sqrt{11}}{3}\approx 2{,}21.$$