Упр.356 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 356. Пусть — выбранное наугад двузначное случайное число, а случайная величина X равна сумме его цифр. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X.

Пусть двузначное число имеет цифры $$a$$ и $$b$$, тогда $$a \in \{1,2,\dots,9\}$$, $$b \in \{0,1,2,\dots,9\}$$, а случайная величина равна

$$X=a+b.$$

Найдём математические ожидания цифр:

$$E(a)=\frac{1+2+\dots+9}{9}=5,$$

$$E(b)=\frac{0+1+2+\dots+9}{10}=4{,}5.$$

Тогда

$$E(X)=E(a+b)=E(a)+E(b)=5+4{,}5=9{,}5.$$

Найдём также

$$E(a^2)=\frac{1^2+2^2+\dots+9^2}{9}=\frac{285}{9}=\frac{95}{3},$$

$$E(b^2)=\frac{0^2+1^2+2^2+\dots+9^2}{10}=\frac{285}{10}=28{,}5.$$

Теперь вычислим

$$E(X^2)=E((a+b)^2)=E(a^2)+2E(a)E(b)+E(b^2).$$

Подставим значения:

$$E(X^2)=\frac{95}{3}+2\cdot 5 \cdot 4{,}5+28{,}5=\frac{317}{3}.$$

Тогда дисперсия равна

$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=\frac{317}{3}-9{,}5^2=\frac{317}{3}-\frac{361}{4}=\frac{95}{12}.$$

Стандартное отклонение:

$$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{95}{12}} \approx 2{,}81.$$

Ответ

$$D(X)=\frac{95}{12}, \qquad \sigma(X)=\sqrt{\frac{95}{12}} \approx 2{,}81.$$