Упр.355 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 355*. Монету бросают до тех пор, пока орёл и решка не выпадут хотя бы по разу. Найдите дисперсию и стандартное отклонение числа испытаний. Вычислите верхнюю границу числа испытаний по правилу «трёх сигм».

Подробный ответ

Обозначим через $$T$$ число бросков до первого появления второй стороны монеты после того, как одна из сторон уже выпала. Тогда $$T$$ имеет геометрическое распределение с параметром $$p=0{,}5$$.

Для геометрического распределения:

$$E(T)=\frac{1}{p}, \qquad D(T)=\frac{1-p}{p^2}.$$

Подставим $$p=0{,}5$$:

$$E(T)=\frac{1}{0{,}5}=2,$$

$$D(T)=\frac{1-0{,}5}{(0{,}5)^2}=2.$$

Пусть $$X$$ — число бросков до того момента, когда орёл и решка выпадут хотя бы по разу. Тогда

$$X=1+T.$$

Следовательно,

$$E(X)=E(1+T)=1+E(T)=1+2=3,$$

$$D(X)=D(T)=2.$$

Стандартное отклонение:

$$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{2}\approx 1{,}414.$$