Упр.353 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 353. Профессор Злобин не хочет ставить положительную оценку студенту Разгуляеву и задаёт ему вопросы до тех пор, пока на очередном вопросе студент не ошибётся. Вероятность правильного ответа на любой вопрос составляет 0,8. Случайная величина X равна числу вопросов, на которые правильно ответит студент перед тем. как получит двойку. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X. Как вы думаете, какое количество вопросов следует запасти профессору?

Вероятность правильного ответа на вопрос равна $$p=0{,}8,$$ тогда вероятность ошибки

$$q=1-p=0{,}2.$$

Случайная величина $$X$$ — число правильных ответов до первой ошибки. Значит, $$X$$ имеет геометрическое распределение:

$$E(X)=\frac{p}{q}, \qquad D(X)=\frac{p}{q^2}.$$

Найдём математическое ожидание и дисперсию:

$$E(X)=\frac{0{,}8}{0{,}2}=4,$$
$$D(X)=\frac{0{,}8}{(0{,}2)^2}=\frac{0{,}8}{0{,}04}=20.$$

Стандартное отклонение:

$$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{20}\approx 4{,}47.$$

Чтобы профессору хватило вопросов с запасом, можно взять примерно

$$E(X)+2\sigma(X)\approx 4+2\cdot 4{,}47\approx 12{,}94,$$

то есть около $$13$$ вопросов.

Ответ

$$D(X)=20,\qquad \sigma(X)=\sqrt{20}\approx 4{,}47.$$

Запасти следует примерно $$13$$ вопросов.