Упр.352 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 352. Страховой полис на один год стоит 8000 р. Страховые случаи делятся на 3 категории: с малым (10 000 р.), средним (50 000 р.) и большим (500 000 р.) ущербом. При этом каждый из этих случаев возникает в течение года с вероятностями 0,1, 0,05 и 0,002 соответственно. Найдите дисперсию и стандартное отклонение страховой выплаты по полису в течение года. Сделайте то же самое для дохода, который компания получает с одного полиса.

Обозначим случайную величину X — страховую выплату по полису за год, в тысячах рублей.

Тогда возможны значения:

• $$X=10$$ с вероятностью $$0{,}1$$;
• $$X=50$$ с вероятностью $$0{,}05$$;
• $$X=500$$ с вероятностью $$0{,}002$$;
• $$X=0$$ с вероятностью $$1-(0{,}1+0{,}05+0{,}002)=0{,}848$$.

Найдём математическое ожидание:

$$ E(X)=10\cdot 0{,}1+50\cdot 0{,}05+500\cdot 0{,}002+0\cdot 0{,}848=4{,}5. $$

Найдём вторую моменту:

$$ E(X^2)=10^2\cdot 0{,}1+50^2\cdot 0{,}05+500^2\cdot 0{,}002+0^2\cdot 0{,}848=635. $$

Тогда дисперсия страховой выплаты:

$$ D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=635-4{,}5^2=635-20{,}25=614{,}75. $$

Стандартное отклонение:

$$ \sigma(X)=\sqrt{614{,}75}\approx 24{,}8. $$

Теперь рассмотрим доход компании с одного полиса. Пусть Y — доход компании за год, в тысячах рублей. Тогда

$$ Y=8-X. $$

Следовательно,

$$ E(Y)=8-E(X)=8-4{,}5=3{,}5. $$

Так как при прибавлении константы дисперсия не меняется, а при умножении на $$-1$$ стандартное отклонение тоже не меняется, получаем:

$$ D(Y)=D(X)=614{,}75,\qquad \sigma(Y)=\sigma(X)\approx 24{,}8. $$

Ответ

Для страховой выплаты: $$D=614{,}75$$, $$\sigma\approx 24{,}8$$ (тыс. руб.).

Для дохода компании: $$D=614{,}75$$, $$\sigma\approx 24{,}8$$ (тыс. руб.).