Упр.352 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)
Страховой полис на один год стоит $$8000\ \text{р.}$$ Страховые случаи делятся на 3 категории: с малым ($$10\,000\ \text{р.}$$), средним ($$50\,000\ \text{р.}$$) и большим ($$500\,000\ \text{р.}$$) ущербом. При этом каждый из этих случаев возникает в течение года с вероятностями $$0{,}1$$, $$0{,}05$$ и $$0{,}002$$ соответственно. Найдите дисперсию и стандартное отклонение страховой выплаты по полису в течение года. Сделайте то же самое для дохода, который компания получает с одного полиса.
Обозначим случайную величину X — страховую выплату по полису за год, в тысячах рублей.
Тогда возможны значения:
- $$X=10$$ с вероятностью $$0{,}1$$;
- $$X=50$$ с вероятностью $$0{,}05$$;
- $$X=500$$ с вероятностью $$0{,}002$$;
- $$X=0$$ с вероятностью $$1-(0{,}1+0{,}05+0{,}002)=0{,}848$$.
Найдём математическое ожидание:
$$E(X)=10\cdot 0{,}1+50\cdot 0{,}05+500\cdot 0{,}002+0\cdot 0{,}848=4{,}5.$$
Найдём вторую моменту:
$$E(X^2)=10^2\cdot 0{,}1+50^2\cdot 0{,}05+500^2\cdot 0{,}002+0^2\cdot 0{,}848=635.$$
Тогда дисперсия страховой выплаты:
$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=635-4{,}5^2=635-20{,}25=614{,}75.$$
Стандартное отклонение:
$$\sigma(X)=\sqrt{614{,}75}\approx 24{,}8.$$
Теперь рассмотрим доход компании с одного полиса. Пусть Y — доход компании за год, в тысячах рублей. Тогда
$$Y=8-X.$$
Следовательно,
$$E(Y)=8-E(X)=8-4{,}5=3{,}5.$$
Так как при прибавлении константы дисперсия не меняется, а при умножении на $$-1$$ стандартное отклонение тоже не меняется, получаем:
$$D(Y)=D(X)=614{,}75,\qquad \sigma(Y)=\sigma(X)\approx 24{,}8.$$
Ответ
Для страховой выплаты: $$D=614{,}75$$, $$\sigma\approx 24{,}8$$ (тыс. руб.).
Для дохода компании: $$D=614{,}75$$, $$\sigma\approx 24{,}8$$ (тыс. руб.).
