Упр.35 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Средняя масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка равна 42 г. Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения?
а) Все попугайчики, кроме Кеши, имеют массу 42 г.
б) Масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г.
в) В живом уголке есть попугайчик, масса которого меньше 42 г.
г) В живом уголке есть попугайчик, масса которого равна 41 г.

Подробный ответ

Обозначим массу всех попугайчиков, кроме Кеши, через $$x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$$, а массу Кеши — через $$43$$ г. Тогда средняя масса равна

$$\frac{x_1+x_2+\dots+x_{n-1}+43}{n}=42.$$

Отсюда

$$x_1+x_2+\dots+x_{n-1}=42n-43.$$

а) Если бы все попугайчики, кроме Кеши, имели массу $$42$$ г, то их сумма была бы равна $$42(n-1)$$. Но тогда общая сумма масс всех попугайчиков составила бы

$$42(n-1)+43=42n+1,$$

и средняя масса была бы

$$\frac{42n+1}{n}=42+\frac{1}{n}\neq 42.$$

Значит, утверждение неверно.

б) Предположим, что масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше $$42$$ г. Тогда сумма масс остальных попугайчиков меньше, чем $$42(n-1)$$, то есть

$$x_1+x_2+\dots+x_{n-1}<42(n-1).$$

Но мы уже получили, что

$$x_1+x_2+\dots+x_{n-1}=42n-43=42(n-1)-1,$$

а это действительно меньше $$42(n-1)$$. Следовательно, утверждение верно.

в) Из того, что средняя масса всех попугайчиков равна $$42$$ г, а масса Кеши равна $$43$$ г, следует, что среди остальных попугайчиков должна быть масса меньше $$42$$ г, иначе средняя масса не могла бы быть равна $$42$$ г. Значит, утверждение верно.

г) Из условия не следует, что обязательно есть попугайчик массой ровно $$41$$ г. Масса меньше $$42$$ г может быть любой, не обязательно $$41$$ г. Значит, утверждение неверно.