Упр.348 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 348. Требуется протестировать большое количество человек на наличие в крови некоторого вируса. Каждый тест обходится очень дорого, поэтому предлагается такая схема тестирования. N человек разбиваются на группы размера к (можно считать, что делится на к), и сначала проводится анализ крови, собранной во всей группе. Если тест отрицательный, то вся группа считается здоровой. Если тест положительный, то тестируется отдельно каждый человек из этой группы. Вероятность обнаружения вируса в крови любого человека равна р. Чему равно ожидаемое число тестов при такой схеме тестирования? Будет ли оно меньше N?

Рассмотрим одну группу из $$k$$ человек.

Вероятность того, что у каждого из них вируса нет, равна $$1-p$$, значит, вероятность того, что в группе никто не заражён, равна

$$ (1-p)^k. $$

Тогда вероятность того, что тест на всю группу окажется положительным, равна

$$ 1-(1-p)^k. $$

Для одной группы число тестов равно:

• $$1$$ — если общий тест отрицательный;
• $$1+k$$ — если общий тест положительный.

Следовательно, математическое ожидание числа тестов для одной группы:

$$ E_1=1+k\bigl(1-(1-p)^k\bigr). $$

Всего групп $$\frac{N}{k}$$, поэтому ожидаемое число тестов для всех $$N$$ человек:

$$ E=\frac{N}{k}\left(1+k\bigl(1-(1-p)^k\bigr)\right) = \frac{N}{k}+N\bigl(1-(1-p)^k\bigr). $$

Проверим, будет ли это меньше $$N$$:

$$ \frac{N}{k}+N\bigl(1-(1-p)^k\bigr) < N $$

делим на $$N$$:

$$ \frac{1}{k}+1-(1-p)^k<1, $$

то есть

$$ \frac{1}{k}<(1-p)^k. $$

Значит, ожидаемое число тестов будет меньше $$N$$ тогда и только тогда, когда

$$ (1-p)^k>\frac{1}{k}. $$

Ответ

$$E=\frac{N}{k}+N\bigl(1-(1-p)^k\bigr).$$

Оно меньше $$N$$ при условии $$ (1-p)^k>\frac{1}{k}. $$