Упр.344 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 344*. Подбрасывают одновременно п кубиков. Случайная величина М равна наибольшему из выпавших чисел. Найдите математическое ожидание М.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — наибольшее число, выпавшее на $$n$$ кубиках.

Тогда для любого $$k=1,2,\dots,6$$

$$P(M\le k)=\left(\frac{k}{6}\right)^n,$$

так как все $$n$$ кубиков должны показать числа не больше $$k$$.

Следовательно,

$$P(M=k)=P(M\le k)-P(M\le k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

Математическое ожидание найдём по формуле

$$E(M)=\sum_{k=1}^{6}k\cdot P(M=k).$$

Подставим найденные вероятности:

$$E(M)=\sum_{k=1}^{6}k\left[\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n\right].$$

То есть

$$E(M)=1\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^n+2\cdot\left[\left(\frac{2}{6}\right)^n-\left(\frac{1}{6}\right)^n\right]+3\cdot\left[\left(\frac{3}{6}\right)^n-\left(\frac{2}{6}\right)^n\right]+4\cdot\left[\left(\frac{4}{6}\right)^n-\left(\frac{3}{6}\right)^n\right]+5\cdot\left[\left(\frac{5}{6}\right)^n-\left(\frac{4}{6}\right)^n\right]+6\cdot\left[1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\right].$$