Упр.342 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)
- В волейболе матч продолжается, пока одна из команд не одержит победу в трёх партиях. Случайная величина $$X$$ равняется количеству партий в волейбольном матче между командами «Чайка» и «Буревестник». Ничьих в волейбольных партиях не бывает. Найдите математическое ожидание случайной величины $$X$$, если:
а) в каждой партии команды имеют равные шансы на победу;
б) в каждой партии «Чайка» выигрывает у «Буревестника» с вероятностью $$0.8$$.
Случайная величина $$X$$ — число партий в матче. Матч заканчивается, когда одна из команд выигрывает 3 партии, значит возможны только значения
$$X=3,\;4,\;5.$$
а) Пусть вероятность победы любой команды в одной партии равна $$0{,}5$$.
Тогда:
$$P(X=3)=2\cdot (0{,}5)^3=0{,}25,$$
так как матч заканчивается в 3 партии, если одна из команд выиграла все три партии.
Для 4 партий одна команда должна выиграть 3 партии, а другая — 1:
$$P(X=4)=4\cdot (0{,}5)^4=0{,}25.$$
Для 5 партий счёт после четырёх партий должен быть $$2:2$$, а затем одна из команд выигрывает решающую партию:
$$P(X=5)=6\cdot (0{,}5)^5=0{,}1875.$$
Найдём математическое ожидание:
$$E(X)=3\cdot 0{,}25+4\cdot 0{,}25+5\cdot 0{,}1875=3{,}6875.$$
б) Пусть $$P(\text{победа «Чайки»})=0{,}8,$$ тогда $$P(\text{победа «Буревестника»})=0{,}2.$$
Тогда:
$$P(X=3)=0{,}8^3+0{,}2^3=0{,}52,$$
$$P(X=4)=3\cdot(0{,}8^3\cdot 0{,}2+0{,}2^3\cdot 0{,}8)=0{,}3328,$$
$$P(X=5)=6\cdot(0{,}8^3\cdot 0{,}2^2+0{,}2^3\cdot 0{,}8^2)=0{,}1472.$$
Тогда
$$E(X)=3\cdot 0{,}52+4\cdot 0{,}3328+5\cdot 0{,}1472=3{,}6272.$$
Ответ
а) $$3{,}6875$$; б) $$3{,}6272$$.
