Упр.336 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 336*. Биатлонист должен поразить 3 мишени пятью выстрелами. На каждый выстрел он тратит 8 с и попадает в цель с вероятностью 0,6. Случайная величина Т — общее время, которое он проведёт на огневом рубеже. Найдите математическое ожидание Т.

Обозначим через $$T$$ общее время пребывания биатлониста на огневом рубеже.

На каждый выстрел он тратит $$8$$ с, значит, если он сделал $$k$$ выстрелов, то

$$T=8k.$$

Нужно поразить $$3$$ мишени, поэтому возможны случаи:

• $$k=3$$ — все три мишени поражены с трёх выстрелов;
• $$k=4$$ — одна промахнутая попытка и затем попадание;
• $$k=5$$ — две промахнутые попытки;
• $$k=5$$ и три мишени не поражены за первые четыре выстрела, но на пятом выстреле цель всё же поражена.

Пусть $$p=0{,}6$$ — вероятность попадания, тогда $$q=0{,}4$$ — вероятность промаха.

Тогда:

$$P(3)=p^3=0{,}6^3=0{,}216,$$
$$P(4)=\binom{3}{2}p^3q=3\cdot 0{,}6^3\cdot 0{,}4=0{,}2592,$$
$$P(5)=\binom{4}{2}p^3q^2=6\cdot 0{,}6^3\cdot 0{,}4^2=0{,}20736.$$

Вероятность того, что после пяти выстрелов он всё ещё не поразит все три мишени, равна

$$P(\text{не успел})=1-(P(3)+P(4)+P(5))=1-(0{,}216+0{,}2592+0{,}20736)=0{,}31744.$$

Тогда математическое ожидание:

$$ E(T)=24\cdot 0{,}216+32\cdot 0{,}2592+40\cdot 0{,}20736+40\cdot 0{,}31744. $$

$$ E(T)=5{,}184+8{,}2944+8{,}2944+12{,}6976=34{,}4704. $$

Ответ: $$34{,}47\text{ с}$$.