Упр.330 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Подбрасывают одновременно $$n$$ кубиков. Случайная величина $$W$$ равна наибольшему из выпавших чисел. Найдите закон распределения $$W$$. Нарисуйте диаграммы распределения вероятностей для $$n=2, 3, 5$$ и $$10$$.

Подробный ответ

Пусть $$W$$ — наибольшее из чисел, выпавших на $$n$$ кубиках.

Тогда для каждого $$k=1,2,3,4,5,6$$

$$P(W\le k)=\left(\frac{k}{6}\right)^n,$$

так как на каждом из $$n$$ кубиков должно выпасть число не больше $$k$$.

Следовательно, вероятность того, что наибольшее число равно $$k$$, равна

$$P(W=k)=P(W\le k)-P(W\le k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

Итак, закон распределения случайной величины $$W$$:

$$W$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$
$$P$$	$$\frac{1^n}{6^n}$$	$$\frac{2^n-1^n}{6^n}$$	$$\frac{3^n-2^n}{6^n}$$	$$\frac{4^n-3^n}{6^n}$$	$$\frac{5^n-4^n}{6^n}$$	$$\frac{6^n-5^n}{6^n}$$

Для построения диаграмм распределения при заданных $$n$$ достаточно вычислить эти вероятности.

При $$n=2$$:

$$P(W=1)=\frac{1}{36},\quad P(W=2)=\frac{3}{36},\quad P(W=3)=\frac{5}{36},\quad P(W=4)=\frac{7}{36},\quad P(W=5)=\frac{9}{36},\quad P(W=6)=\frac{11}{36}.$$

При $$n=3$$:

$$P(W=1)=\frac{1}{216},\quad P(W=2)=\frac{7}{216},\quad P(W=3)=\frac{19}{216},\quad P(W=4)=\frac{37}{216},\quad P(W=5)=\frac{61}{216},\quad P(W=6)=\frac{91}{216}.$$

При $$n=5$$:

$$P(W=1)=\frac{1}{7776},\quad P(W=2)=\frac{31}{7776},\quad P(W=3)=\frac{211}{7776},\quad P(W=4)=\frac{781}{7776},\quad P(W=5)=\frac{2101}{7776},\quad P(W=6)=\frac{4651}{7776}.$$

При $$n=10$$:

$$P(W=1)=\frac{1}{6^{10}},\quad P(W=2)=\frac{2^{10}-1}{6^{10}},\quad P(W=3)=\frac{3^{10}-2^{10}}{6^{10}},\quad P(W=4)=\frac{4^{10}-3^{10}}{6^{10}},\quad P(W=5)=\frac{5^{10}-4^{10}}{6^{10}},\quad P(W=6)=\frac{6^{10}-5^{10}}{6^{10}}.$$

По этим значениям строятся столбчатые диаграммы распределения вероятностей: с ростом $$n$$ вероятность больших значений $$W$$ увеличивается, и столбцы смещаются вправо.