Упр.328 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Шахматисты А и Б играют финальный матч за звание чемпиона до победы в двух партиях. Случайная величина $$X$$ равняется количеству партий в финальном матче. Найдите закон её распределения, если: любая партия может закончиться вничью с вероятностью $$0{,}5$$, а А и Б имеют равные шансы на выигрыш.

Подробный ответ

Финальный матч заканчивается, когда один из шахматистов набирает 2 победы. Партия может закончиться:

ничьей с вероятностью $$\frac12$$;
победой А с вероятностью $$\frac14$$;
победой Б с вероятностью $$\frac14$$.

Обозначим через $$X$$ число партий в матче. Тогда возможны значения $$X=2,3,4,\dots$$

1) $$X=2$$. Матч заканчивается за 2 партии, если один из игроков выиграл обе партии:

$$P(X=2)=2\cdot \left(\frac14\right)^2=\frac18.$$

2) $$X=3$$. За 3 партии матч заканчивается, если после двух партий у игроков по одной победе, а третья партия не ничья и приносит кому-то вторую победу. Возможны 4 равновероятных варианта:

$$AB,\ BA,\ A0B,\ B0A$$

Удобнее считать так:

$$P(X=3)=4\cdot \frac14\cdot \frac14\cdot \frac14=\frac{3}{16}.$$

3) Общий случай. Чтобы матч закончился на $$k$$-й партии, после первых $$k-1$$ партий у каждого должно быть по одной победе, а затем один из них выигрывает вторую партию. Тогда

$$P(X=k)=\frac{k(k-1)}{2^{k+2}}, \qquad k=2,3,4,\dots$$

Проверим первые значения:

$$P(X=2)=\frac18,\quad P(X=3)=\frac{3}{16},\quad P(X=4)=\frac{3}{16},\quad P(X=5)=\frac{5}{32},\dots$$