Упр.327 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 327*. В волейболе матч продолжается, пока одна из команд не одержит победы в трёх партиях. Случайная величина X равняется количеству партий в волейбольном матче между командами «Чайка» и «Буревестник», шансы которых на победу одинаковые. Ничьих в волейбольной партии не бывает. Найдите закон распределения случайной величины X.

Пусть вероятность победы каждой команды в одной партии равна $$\frac12$$. Матч заканчивается, когда одна из команд выигрывает 3 партии, поэтому случайная величина $$X$$ может принимать только значения $$3, 4, 5$$.

1) $$X=3$$. Матч заканчивается в трёх партиях, если одна из команд выиграла все три партии:

$$P(X=3)=\left(\frac12\right)^3+\left(\frac12\right)^3=\frac18+\frac18=\frac14.$$

2) $$X=4$$. Матч длится 4 партии, если после трёх партий счёт был $$2:1$$, а четвёртую партию выиграла команда, у которой уже было 2 победы. Таких вариантов два для каждой команды, всего 4 равновероятных последовательности:

$$P(X=4)=\binom31\left(\frac12\right)^3\frac12+\binom31\left(\frac12\right)^3\frac12=3\cdot\frac1{16}+3\cdot\frac1{16}=\frac38.$$

3) $$X=5$$. Матч длится 5 партий, если после четырёх партий счёт был $$2:2$$, а пятую партию выиграла одна из команд:

$$P(X=5)=\binom42\left(\frac12\right)^4\frac12+\binom42\left(\frac12\right)^4\frac12=6\cdot\frac1{32}+6\cdot\frac1{32}=\frac38.$$

Проверим: $$\frac14+\frac38+\frac38=1$$.

Ответ

$$P(X=3)=\frac14,\quad P(X=4)=\frac38,\quad P(X=5)=\frac38.$$