Упр.311 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 311. Проводятся испытания Бернулли до первого успеха. Случайная величина I равна 1, если первый успех наступит на чётном испытании, 0 — если на нечётном. Какое из этих двух значений более вероятно?

Подробный ответ

Пусть вероятность успеха в одном испытании равна $$p$$, тогда вероятность неудачи равна $$1-p$$.

Случайная величина $$I=0$$, если первый успех наступит на нечётном испытании. Тогда

$$ P(I=0)=p+(1-p)^2p+(1-p)^4p+\cdots $$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$p$$ и знаменателем $$ (1-p)^2 $$, поэтому

$$ P(I=0)=\frac{p}{1-(1-p)^2} =\frac{p}{1-1+2p-p^2} =\frac{p}{2p-p^2} =\frac{1}{2-p}. $$

Случайная величина $$I=1$$, если первый успех наступит на чётном испытании. Тогда

$$ P(I=1)=(1-p)p+(1-p)^3p+(1-p)^5p+\cdots $$

Снова получаем геометрическую прогрессию:

$$ P(I=1)=\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} =\frac{(1-p)p}{2p-p^2} =\frac{1-p}{2-p}. $$

Сравним вероятности:

$$ P(I=0)-P(I=1)=\frac{1}{2-p}-\frac{1-p}{2-p}=\frac{p}{2-p}>0. $$