Упр.311 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Проводятся испытания Бернулли до первого успеха. Случайная величина $$I$$ равна $$1$$, если первый успех наступит на чётном испытании, $$0$$ — если на нечётном. Какое из этих двух значений более вероятно?

Пусть вероятность успеха в одном испытании равна $$p$$, тогда вероятность неудачи равна $$1-p$$.

Случайная величина $$I=0$$, если первый успех наступит на нечётном испытании. Тогда

$$P(I=0)=p+(1-p)^2p+(1-p)^4p+\cdots$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$p$$ и знаменателем $$(1-p)^2$$, поэтому

$$P(I=0)=\frac{p}{1-(1-p)^2} =\frac{p}{1-1+2p-p^2} =\frac{p}{2p-p^2} =\frac{1}{2-p}.$$

Случайная величина $$I=1$$, если первый успех наступит на чётном испытании. Тогда

$$P(I=1)=(1-p)p+(1-p)^3p+(1-p)^5p+\cdots$$

Снова получаем геометрическую прогрессию:

$$P(I=1)=\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} =\frac{(1-p)p}{2p-p^2} =\frac{1-p}{2-p}.$$

Сравним вероятности:

$$P(I=0)-P(I=1)=\frac{1}{2-p}-\frac{1-p}{2-p}=\frac{p}{2-p}>0.$$

Значит, более вероятно значение $$I=0$$, то есть первый успех наступит на нечётном испытании.

Ответ

Более вероятно значение $$I=0$$ — первый успех наступит на нечётном испытании.