Упр.303 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 303. У кассы кинотеатра стоят в очереди 2л человек. Из них п человек имеют только 100-рублёвые купюры, а остальные — только 50-рублёвые. Билет стоит 50 р. Каждый покупает по одному билету. В начальный момент в кассе нет денег. С какой вероятностью каждый покупатель не будет ждать сдачу?

Подробный ответ

Чтобы каждый покупатель не ждал сдачу, все 50-рублёвые покупатели должны оказаться в очереди перед всеми покупателями с 100-рублёвыми купюрами.

Всего в очереди $$2n$$ человек, из них $$n$$ человек с 100-рублёвыми купюрами и $$n$$ человек с 50-рублёвыми купюрами. Все возможные порядки очереди равновероятны.

Общее число способов расположить этих людей в очереди:

$$C_{2n}^{n}$$

Благоприятный случай только один: сначала стоят все $$n$$ человек с 50-рублёвыми купюрами, затем все $$n$$ человек с 100-рублёвыми купюрами.

Но среди всех перестановок достаточно выбрать, какие $$n$$ мест из $$2n$$ займут покупатели с 100-рублёвыми купюрами. Тогда число благоприятных вариантов равно

$$1$$

Следовательно, вероятность равна

$$P=\frac{1}{C_{2n}^{n}}.$$

Используем известное равенство:

$$C_{2n}^{n}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}.$$

Тогда

$$P=\frac{1}{C_{2n}^{n}}.$$

Если же понимать задачу в стандартной формулировке про случайный порядок очереди, то вероятность того, что каждый покупатель не будет ждать сдачу, равна

$$\frac{1}{n+1}.$$