Упр.302 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

а) все 20 учёных;
б) ровно 13 учёных;
в) ровно 12 учёных?

Подробный ответ

Всего способов разбить 20 учёных на 10 двухместных номеров:

$$n=\frac{20!}{2^{10}\cdot 10!}=184756.$$

Пусть среди 10 учёных, знавших об открытии, каждый может передать его только своему соседу по номеру. Тогда новый осведомлённый появляется в каждом номере, где оказался хотя бы один из этих 10 учёных.

а) Чтобы о новом открытии узнали все 20 учёных, в каждом из 10 номеров должен оказаться хотя бы один из тех, кто уже знал об открытии. Значит, в каждом номере сидит ровно один такой учёный и один не знавший. Число способов:

$$m=2^{10}=1024.$$

Тогда

$$P=\frac{1024}{184756}\approx 0{,}0054.$$

б) Ровно 13 учёных будут знать об открытии, если к 10 первоначально знавшим добавятся ещё 3 человека. Но число новых осведомлённых должно быть чётным, так как каждый номер с одним знавшим даёт ровно одного нового человека. Поэтому такой случай невозможен:

$$P=0.$$

в) Ровно 12 учёных будут знать об открытии, если к 10 первоначально знавшим добавятся ещё 2 человека. Это возможно, когда ровно в 2 номерах оба учёных изначально знали об открытии, а в остальных 8 номерах — по одному такому учёному.

Число способов:

$$m=\binom{10}{2}\binom{8}{4}\cdot 2^4=45\cdot 70\cdot 16=50400.$$

Тогда

$$P=\frac{50400}{184756}\approx 0{,}2728.$$