Упр.295 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Рядом с вахтёром висит доска с 10 ключами от школьных кабинетов. Каждый ключ на своём крючке. Доска упала, и ключи рассыпались. Вахтёр собрал их и развесил на крючках в случайном порядке. С какой вероятностью: а) все ключи висят на своих крючках; б) ровно один ключ висит на своём крючке; в) хотя бы один ключ висит на своём крючке; г) все ключи висят не на своих крючках?

Всего способов развесить 10 ключей по 10 крючкам равно числу перестановок:

$$10!=3628800.$$

а) Все ключи на своих местах — это только один случай:

$$P=\frac{1}{10!}=\frac{1}{3628800}.$$

б) Ровно один ключ на своём крючке.

Выбираем, какой именно ключ останется на своём месте: $$C_{10}^{1}=10.$$

Оставшиеся 9 ключей должны быть расставлены так, чтобы ни один из них не оказался на своём месте. Число таких расстановок равно числу дерangements для 9 объектов:

$$D_9=133496.$$

Тогда

$$P=\frac{10\cdot D_9}{10!}=\frac{10\cdot 133496}{3628800}\approx 0{,}3679.$$

в) Хотя бы один ключ на своём месте.

Удобнее найти через противоположное событие: ни один ключ не на своём месте.

Число таких расстановок для 10 ключей:

$$D_{10}=1334961.$$

Тогда

$$P=1-\frac{D_{10}}{10!}=1-\frac{1334961}{3628800}\approx 0{,}6321.$$

г) Все ключи не на своих крючках:

$$P=\frac{D_{10}}{10!}=\frac{1334961}{3628800}\approx 0{,}3679.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{3628800}$$; б) $$\frac{10\cdot 133496}{3628800}\approx 0{,}3679$$; в) $$1-\frac{1334961}{3628800}\approx 0{,}6321$$; г) $$\frac{1334961}{3628800}\approx 0{,}3679$$.