Упр.293 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Маленький ребёнок, не умеющий читать, играет с карточками разрезной азбуки. Перед ним лежит слово «КОТ». Он перемешал карточки и снова выложил их в ряд. С какой вероятностью получится слово «ТОК»? Ответьте на тот же вопрос для слов: а) «РОСИНКА» — «СОРИНКА»; б) «КУКЛА» — «КУЛАК»; в) «КАБАН» — «БАНКА»; г) «СТАРОРЕЖИМНОСТЬ» — «НЕРАСТОРЖИМОСТЬ».

Подробный ответ

Если все карточки различны, то число возможных перестановок равно $$n!$$, а вероятность получить нужное слово равна $$\frac{1}{n!}$$.

Если среди букв есть повторяющиеся, то число различных перестановок уменьшается:

$$N=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_m!},$$

где $$k_1, k_2, \dots, k_m$$ — количества одинаковых букв.

Слово «КОТ» состоит из 3 различных букв, значит
$$N=3!=6,$$
поэтому
$$P=\frac{1}{6}.$$
а) «РОСИНКА» — «СОРИНКА»
В слове «РОСИНКА» 7 различных букв, значит
$$N=7!=5040,$$
и
$$P=\frac{1}{5040}.$$
б) «КУКЛА» — «КУЛАК»
В слове «КУКЛА» 5 букв, буква $$К$$ повторяется 2 раза. Тогда
$$N=\frac{5!}{2!}=60,$$
следовательно,
$$P=\frac{1}{60}.$$
в) «КАБАН» — «БАНКА»
В слове «КАБАН» 5 букв, буква $$А$$ повторяется 2 раза. Тогда
$$N=\frac{5!}{2!}=60,$$
и
$$P=\frac{1}{60}.$$
г) «СТАРОРЕЖИМНОСТЬ» — «НЕРАСТОРЖИМОСТЬ»
В слове «СТАРОРЕЖИМНОСТЬ» 15 букв, при этом буквы $$О$$, $$Р$$, $$Т$$, $$С$$ повторяются по 2 раза. Тогда число различных перестановок равно
$$N=\frac{15!}{2!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{15!}{2^4}=8172964800.$$
Значит,
$$P=\frac{1}{8172964800}\approx 1{,}22\cdot 10^{-10}.$$