Упр.290 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

а) первое число будет 1, второе — 2, третье — 3;
б) первые три числа будут 1, 2, 3 в любом порядке;
в) все к раз появится одно и то же число;
г) все к чисел будут разными?

При каждом выборе число из диапазона от $$1$$ до $$n$$ появляется с вероятностью $$\frac{1}{n}$$, а все выборы считаются независимыми.

1. Вероятность того, что первое число будет $$1$$, второе — $$2$$, третье — $$3$$:

   $$P=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}.$$

2. Первые три числа будут $$1,2,3$$ в любом порядке. Таких порядков $$3!=6$$, и каждый имеет вероятность $$\frac{1}{n^3}$$:

   $$P=\frac{3!}{n^3}=\frac{6}{n^3}.$$

3. Все $$k$$ раз появится одно и то же число.

   Сначала можно выбрать любое из $$n$$ чисел, а затем остальные $$k-1$$ раз должно выпасть то же самое число:

   $$P=n\cdot\frac{1}{n^k}=\frac{1}{n^{k-1}}.$$

4. Все $$k$$ чисел будут разными.

   Если $$k\le n$$, то

   $$P=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k}.$$

   Если $$k>n$$, то такое событие невозможно, поэтому $$P=0$$.

Ответ

а) $$\frac{1}{n^3}$$; б) $$\frac{6}{n^3}$$; в) $$\frac{1}{n^{k-1}}$$; г) $$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k}$$ при $$k\le n$$, а при $$k>n$$ — $$0$$.