Упр.277 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Частица совершает случайное блуждание на числовой прямой. В начальный момент времени частица находится в точке $$0$$. Каждую секунду она может перепрыгнуть на $$1$$ вправо с вероятностью $$p=0{,}8$$ или на $$1$$ влево с вероятностью $$q=1-p=0{,}2$$. Какова вероятность того, что рано или поздно частица попадёт в точку $$-1$$?

Обозначим через $$x$$ вероятность того, что частица, находясь в точке $$0$$, рано или поздно попадёт в точку $$-1$$.

После первого шага возможны два случая:

• с вероятностью $$0{,}2$$ частица сразу попадает в точку $$-1$$;
• с вероятностью $$0{,}8$$ частица переходит в точку $$1$$, и тогда, чтобы попасть в $$-1$$, ей нужно сначала вернуться в $$0$$, а затем попасть в $$-1$$. Вероятность этого равна $$x^2$$.

Тогда

$$x=0{,}2+0{,}8x^2.$$

Решим уравнение:

$$0{,}8x^2-x+0{,}2=0$$

Умножим на $$5$$:

$$4x^2-5x+1=0$$

$$(4x-1)(x-1)=0$$

Отсюда $$x=\frac14$$ или $$x=1$$. Так как вероятность должна быть меньше $$1$$, получаем

$$x=\frac14.$$

Ответ

$$\frac14$$