Упр.275 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 275. Артём бросает монету 2 раза, а Богдан — 3 раза. У кого выпало больше орлов, выигрывает. Если орлов выпало поровну, то броски повторяются до победы одного из игроков. С какой вероятностью каждый из них выиграет?

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ событие «выиграл Артём», через $$B$$ — «выиграл Богдан», через $$C$$ — «в первой серии бросков получилась ничья».

Найдём вероятности того, что в первой серии победит каждый из игроков.

У Артёма при 2 бросках возможны числа орлов $$0,1,2$$, поэтому

$$P_A(0)=\frac14,\quad P_A(1)=\frac12,\quad P_A(2)=\frac14.$$

У Богдана при 3 бросках возможны числа орлов $$0,1,2,3$$, поэтому

$$P_B(0)=\frac18,\quad P_B(1)=\frac38,\quad P_B(2)=\frac38,\quad P_B(3)=\frac18.$$

Тогда вероятность выигрыша Артёма в первой серии:

$$ P(A)=P_A(2)\bigl(P_B(0)+P_B(1)\bigr)+P_A(1)P_B(0) $$

$$ P(A)=\frac14\left(\frac18+\frac38\right)+\frac12\cdot\frac18 =\frac14\cdot\frac12+\frac1{16} =\frac18+\frac1{16} =\frac3{16}. $$

Вероятность выигрыша Богдана в первой серии:

$$ P(B)=P_B(3)+P_B(2)\bigl(P_A(0)+P_A(1)\bigr)+P_B(1)P_A(0) $$

$$ P(B)=\frac18+\frac38\left(\frac14+\frac12\right)+\frac38\cdot\frac14 =\frac18+\frac38\cdot\frac34+\frac3{32} =\frac18+\frac9{32}+\frac3{32} =\frac12. $$

Тогда вероятность ничьей в первой серии:

$$ P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\frac3{16}-\frac12=\frac5{16}. $$

Если первая серия закончилась ничьей, то ситуация полностью повторяется. Поэтому

$$ P(\text{выиграл Артём})=\frac{P(A)}{1-P(C)}=\frac{\frac3{16}}{1-\frac5{16}}=\frac{\frac3{16}}{\frac{11}{16}}=\frac3{11}, $$

$$ P(\text{выиграл Богдан})=\frac{P(B)}{1-P(C)}=\frac{\frac12}{1-\frac5{16}}=\frac{\frac12}{\frac{11}{16}}=\frac8{11}. $$