Упр.259 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет $$5$$ очков. С какой вероятностью придётся сделать: а) больше $$3$$ бросков; б) меньше $$5$$ бросков; в) от $$3$$ до $$5$$ бросков?

Вероятность выпадения пятёрки при одном броске равна $$p=\frac16,$$ а вероятность не получить пятёрку — $$q=\frac56.$$

Пусть $$X$$ — число бросков до первого успеха. Тогда

$$P(X>n)=q^n,$$

$$P(X<n)=1-P(X\ge n)=1-q^{\,n-1},$$

а для промежутка от 3 до 5 бросков включительно:

$$P(3\le X\le 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5).$$

а) Больше 3 бросков:

$$P(X>3)=q^3=\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}\approx 0{,}579.$$

б) Меньше 5 бросков:

$$P(X<5)=1-q^4=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0{,}518.$$

в) От 3 до 5 бросков:

$$P(3\le X\le 5)=q^2p+q^3p+q^4p$$

$$=\left(\frac56\right)^2\frac16+\left(\frac56\right)^3\frac16+\left(\frac56\right)^4\frac16$$

$$=\frac{25}{216}+\frac{125}{1296}+\frac{625}{7776}=\frac{2275}{7776}\approx 0{,}293.$$

Ответ

а) $$\frac{125}{216}\approx 0{,}579$$; б) $$\frac{671}{1296}\approx 0{,}518$$; в) $$\frac{2275}{7776}\approx 0{,}293$$.