Упр.258 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Монету бросают до тех пор, пока не появится орёл. С какой вероятностью придётся сделать: а) больше 3 бросков; б) меньше 5 бросков; в) от 3 до 5 бросков?

Пусть $$X$$ — число бросков до первого появления орла. Тогда

$$P(X=n)=\left(\frac12\right)^n,\quad n=1,2,3,\dots$$

так как первые $$n-1$$ бросков должны дать решку, а $$n$$-й — орла.

1. Больше 3 бросков:

   $$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-\left(\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3\right)$$

   $$=1-\left(\frac12+\frac14+\frac18\right)=1-\frac78=\frac18.$$

2. Меньше 5 бросков:

   $$P(X<5)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)$$

   $$=\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}=\frac{15}{16}.$$

3. От 3 до 5 бросков:

   $$P(3\le X\le 5)=P(3)+P(4)+P(5)$$

   $$=\left(\frac12\right)^3+\left(\frac12\right)^4+\left(\frac12\right)^5=\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}=\frac7{32}.$$

Ответ

а) $$\frac18$$; б) $$\frac{15}{16}$$; в) $$\frac7{32}$$.