Упр.257 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 257*. Докажите теорему о наиболее вероятном числе успехов в испытаниях Бернулли. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 bunimovich10 257 95

Вероятность того, что в $$n$$ независимых испытаниях Бернулли успех наступит ровно $$k$$ раз, равна

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$

где $$q=1-p$$.

Рассмотрим отношение двух соседних вероятностей:

$$\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\frac{C_n^{k+1}p^{k+1}q^{\,n-k-1}}{C_n^k p^k q^{\,n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}.$$

Если

$$\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}\ge 1,$$

то $$P_n(k+1)\ge P_n(k)$$, то есть вероятность возрастает. Это равносильно неравенству

$$\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}\ge 1,$$

или

$$p(n-k)\ge q(k+1).$$

После преобразования получаем

$$np-kp\ge k+1-kp-p,$$

$$np\ge k+q,$$

$$k\le np-q.$$

Значит, при увеличении $$k$$ вероятность $$P_n(k)$$ возрастает до тех пор, пока $$k$$ не станет больше $$np-q$$, а затем убывает. Следовательно, наибольшее значение вероятности достигается при таком целом $$k$$, которое наиболее близко к числу $$np$$.

Итак, наиболее вероятное число успехов равно:

$$k_0=[(n+1)p]$$

или, что то же самое, если $$ (n+1)p $$ не целое, то

$$k_0=\lfloor (n+1)p \rfloor,$$

а если $$ (n+1)p $$ — целое число, то наиболее вероятны два соседних значения:

$$k_0=(n+1)p-1 \quad \text{и} \quad k_0=(n+1)p.$$

Ответ

Наиболее вероятное число успехов в $$n$$ испытаниях Бернулли равно $$k_0=[(n+1)p]$$; если $$ (n+1)p $$ — целое, то наиболее вероятны два значения: $$ (n+1)p-1 $$ и $$ (n+1)p $$.