Упр.256 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Задача Стефана Банаха.

Некий математик всегда носит с собой две коробки со спичками. Каждый раз, когда нужно зажечь огонь, он достаёт наугад одну из двух коробок и поджигает спичку. Через какое-то время он обнаруживает, что одна из коробок пуста. С какой вероятностью в другой коробке в это время лежит $$k$$ спичек? В начальный момент в каждой коробке было по $$n$$ спичек.

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ событие: первая коробка опустела раньше второй. Пусть в момент, когда одна коробка уже пуста, в другой осталось $$k$$ спичек.

Тогда всего было сделано $$2n-k$$ извлечений: из пустой коробки спички уже не берутся, значит, в опустевшей коробке было израсходовано все $$n$$ спичек, а из другой — $$n-k$$ спичек.

Чтобы вторая коробка содержала $$k$$ спичек, среди первых $$2n-k-1$$ извлечений должно быть ровно $$n-1$$ извлечение из одной коробки и $$n-k$$ извлечений из другой, а последнее, $$2n-k$$-е, должно быть из той же коробки, которая опустела.

Число благоприятных последовательностей равно $$C_{2n-k-1}^{\,n-1}$$, а число всех последовательностей из $$2n-k-1$$ извлечений, в которых каждая коробка выбирается с вероятностью $$\frac12$$, не влияет на отношение, поэтому вероятность можно записать как

$$P=\frac{C_{2n-k-1}^{\,n-1}}{C_{2n}^{\,n}}.$$

Упростим это выражение:

$$P=\frac{\dfrac{(2n-k-1)!}{(n-1)!(n-k)!}}{\dfrac{(2n)!}{n!\,n!}} =\frac{n!\,n!\,(2n-k-1)!}{(n-1)!(n-k)!(2n)!} =\frac{n^2}{2n(2n-1)\cdots(2n-k+1)}.$$

После сокращения получаем

$$P=\frac{n}{2n}\cdot\frac{n}{2n-1}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n+k-1}.$$

В частности, если требуется вероятность того, что в другой коробке осталось $$k$$ спичек, то

$$P=\frac{C_{2n-k-1}^{\,n-1}}{C_{2n}^{\,n}}.$$