Упр.255 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

а) С какой вероятностью все пассажиры будут довольны?
б) С какой вероятностью недовольных пассажиров будет больше одного?
в) Какое будет наиболее вероятное число недовольных пассажиров?

Пусть каждый пассажир независимо от других с вероятностью $$\frac12$$ выбирает нужный ему обед. Тогда пассажир будет доволен, если ему достанется именно тот обед, который он выбрал. Вероятность этого для одного пассажира равна $$\frac12$$.

Обозначим через $$X$$ число недовольных пассажиров. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение:

$$X \sim B\left(150,\frac12\right).$$

а) Все пассажиры будут довольны, если недовольных не будет вовсе:

$$P(X=0)=\left(\frac12\right)^{150}.$$

б) Недовольных пассажиров будет больше одного, если $$X>1$$. Тогда

$$P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1).$$

Найдём:

$$P(X=1)=\binom{150}{1}\left(\frac12\right)^{150}=150\left(\frac12\right)^{150}.$$

Следовательно,

$$P(X>1)=1-\left(\frac12\right)^{150}-150\left(\frac12\right)^{150}=1-151\left(\frac12\right)^{150}.$$

в) Наиболее вероятное число недовольных пассажиров — это мода биномиального распределения. Для распределения $$B(n,p)$$ при $$p=\frac12$$ и $$n=150$$ наиболее вероятны значения около $$np=75$$, причём так как $$np$$ — целое число, мода одна:

$$X=75.$$

Ответ

а) $$\left(\frac12\right)^{150}$$;

б) $$1-151\left(\frac12\right)^{150}$$;

в) $$75$$.