Упр.254 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Монету бросают $$2n$$ раз. С какой вероятностью орлов в любой момент будет не меньше, чем решек?

Обозначим через $$2n$$ число бросков монеты. Рассмотрим все возможные последовательности из орлов и решек длины $$2n$$.

Нужно найти вероятность того, что в любой момент число орлов не меньше числа решек. Такие последовательности называются правильными (или последовательностями Дика).

Число таких последовательностей равно числу Каталана:

$$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}.$$

Общее число всех последовательностей при $$2n$$ бросках равно

$$2^{2n}.$$

Тогда искомая вероятность:

$$P=\frac{C_n}{2^{2n}} =\frac{1}{n+1}\cdot \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}.$$

Если раскрыть биномиальный коэффициент, получим:

$$P=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2\,2^{2n}}.$$

Ответ

$$P=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}=\frac{(2n)!}{(n!)^2(n+1)2^{2n}}.$$