Упр.253 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 253*. Петя бросил монету 100 раз, а Вася — 101 раз. С какой вероятностью орлов у Васи выпало больше, чем у Пети?

Обозначим через $$X$$ число орлов у Пети, а через $$Y$$ — число орлов у Васи.

Тогда

$$X \sim \mathrm{Bin}(100,\tfrac12), \qquad Y \sim \mathrm{Bin}(101,\tfrac12).$$

Нужно найти вероятность события $$Y>X.$$

Рассмотрим все $$201$$ бросок монеты вместе. Пусть среди них выпало $$k$$ орлов. Тогда число орлов у Пети и Васи зависит только от того, как распределились эти $$k$$ орлов между их бросками.

Заметим, что при нечётном общем числе бросков $$100+101=201$$ вероятность того, что у Васи орлов больше, чем у Пети, равна вероятности противоположного события $$X>Y$$. Событие равенства $$X=Y$$ невозможно, потому что сумма $$X+Y$$ имеет нечётную чётность и не может быть удвоенным числом.

Значит, все возможные исходы делятся на две равновероятные группы:

$$Y>X \quad \text{и} \quad X>Y.$$

Следовательно,

$$P(Y>X)=\frac12.$$

Ответ

$$\frac12$$