Упр.252 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

а) три партии из шести или четыре партии из восьми;
б) более трёх партий из шести или более четырёх партий из восьми;
в) более п партий из 2n или более n + 1 партий из 2n + 2?

а) Вероятность выиграть ровно $$k$$ партий из $$n$$ при равных силах соперников равна

$$P_n(k)=C_n^k\left(\frac12\right)^n.$$

Тогда

$$P_6(3)=C_6^3\left(\frac12\right)^6=\frac{20}{64}=\frac{5}{16},$$

$$P_8(4)=C_8^4\left(\frac12\right)^8=\frac{70}{256}=\frac{35}{128}.$$

Сравним:

$$\frac{5}{16}=\frac{40}{128}>\frac{35}{128}.$$

Значит, вероятнее выиграть три партии из шести.

б) Найдём вероятность выиграть более трёх партий из шести:

$$P(>3)=P(4)+P(5)+P(6).$$

$$P(4)=C_6^4\left(\frac12\right)^6=\frac{15}{64},$$

$$P(5)=C_6^5\left(\frac12\right)^6=\frac{6}{64},$$

$$P(6)=C_6^6\left(\frac12\right)^6=\frac{1}{64}.$$

Тогда

$$P(>3)=\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}.$$

Теперь найдём вероятность выиграть более четырёх партий из восьми:

$$P(>4)=1-P(4),$$

где

$$P(4)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4).$$

Для равных сил соперников:

$$P(0)=\frac{1}{256},\quad P(1)=\frac{8}{256},\quad P(2)=\frac{28}{256},\quad P(3)=\frac{56}{256},\quad P(4)=\frac{70}{256}.$$

Следовательно,

$$P(>4)=1-\frac{1+8+28+56+70}{256}=\frac{93}{256}.$$

Сравним:

$$\frac{11}{32}=\frac{88}{256}>\frac{93}{256}?$$

Нет, значит

$$\frac{93}{256}>\frac{88}{256}.$$

Следовательно, вероятнее выиграть более четырёх партий из восьми.

в) При равных силах соперников вероятность выиграть более половины партий в серии из чётного числа игр тем больше, чем больше число партий. Поэтому

$$P(\text{более } n \text{ побед из } 2n) < P(\text{более } n+1 \text{ побед из } 2n+2).$$

Значит, вероятнее выиграть более $$n+1$$ партий из $$2n+2$$.

Ответ

а) три партии из шести; б) более четырёх партий из восьми; в) более $$n+1$$ партий из $$2n+2$$.