Упр.251 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

а) 5: 3;
б) 4 : 3;
в) 4 : 2?
Указание. Эта задача была впервые сформулирована более 500 лет тому назад. За её долгую историю было решено, что делить приз следует пропорционально вероятностям, с которыми игроки довели бы прерванную игру до победы. Их и нужно найти в этой задаче.

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ вероятность того, что выиграет первый игрок, а через $$B$$ — вероятность победы второго игрока. Так как каждая партия независима и вероятность выигрыша в каждой партии для обоих игроков равна $$0{,}5$$, то нужно найти вероятности довести прерванную игру до победы.

а) Счёт $$5:3$$.
Первому игроку нужна ещё одна победа, второму — три победы подряд.
Тогда
$$ P(A)=0{,}5+0{,}5\cdot 0{,}5+0{,}5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}875 $$
$$ P(B)=(0{,}5)^3=0{,}125 $$
Следовательно, приз нужно разделить в отношении
$$ P(A):P(B)=0{,}875:0{,}125=7:1. $$
б) Счёт $$4:3$$.
Первому игроку нужно две победы, второму — три.
Вероятность победы первого игрока:
$$ P(A)=(0{,}5)^2+2\cdot (0{,}5)^3+3\cdot (0{,}5)^4=0{,}6875 $$
Вероятность победы второго игрока:
$$ P(B)=(0{,}5)^3+3\cdot (0{,}5)^4=0{,}3125 $$
Тогда
$$ P(A):P(B)=0{,}6875:0{,}3125=11:5. $$
в) Счёт $$4:2$$.
Первому игроку нужно две победы, второму — четыре.
Тогда
$$ P(A)=(0{,}5)^2+2\cdot (0{,}5)^3+3\cdot (0{,}5)^4+4\cdot (0{,}5)^5=0{,}8125 $$
$$ P(B)=(0{,}5)^4+4\cdot (0{,}5)^5=0{,}1875 $$
Следовательно, приз делится в отношении
$$ P(A):P(B)=0{,}8125:0{,}1875=13:3. $$