Упр.249 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 249. Задача шевалье де Мере. Что вероятнее: в 4 бросаниях одной игральной кости получить хотя бы один раз 1 или в 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить две 1? Как вы думаете, почему эту задачу часто называют парадоксом де Мере?

Найдём вероятности обоих событий.

1) В 4 бросаниях одной кости хотя бы один раз выпала 1.

Удобнее сначала найти вероятность противоположного события: ни разу не выпала 1.

$$ P(\text{не выпала 1 за 1 бросок})=\frac{5}{6} $$
$$ P(\text{не выпала 1 за 4 броска})=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}\approx 0{,}482 $$

Тогда

$$ P(\text{хотя бы одна 1})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4\approx 1-0{,}482=0{,}518 $$

2) В 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз выпали две 1.

Вероятность получить две 1 в одном броске двух костей:

$$ P(\text{две 1})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36} $$

Тогда вероятность не получить две 1 ни разу за 24 броска:

$$ P(\text{ни разу не выпали две 1})=\left(1-\frac{1}{36}\right)^{24}=\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 0{,}508 $$

Следовательно,

$$ P(\text{хотя бы один раз две 1})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 1-0{,}508=0{,}492 $$

Сравним:

$$ 0{,}518>0{,}492 $$

Значит, вероятнее в 4 бросаниях одной кости получить хотя бы одну 1.

Эту задачу называют парадоксом де Мере, потому что интуитивно кажется, что события должны быть примерно одинаково вероятны, но расчёт показывает заметную разницу.

Ответ

Вероятнее в 4 бросаниях одной кости получить хотя бы один раз 1: $$0{,}518$$ против $$0{,}492$$. Парадокс де Мере состоит в том, что интуитивное ожидание не совпадает с точным вероятностным расчётом.