Упр.248 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Проводится серия из $$2n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$. Найдите границы, в которых должно находиться значение $$p$$, чтобы наиболее вероятное число успехов во всей серии было равно $$k$$.

Для биномиального распределения при числе испытаний $$N=2n$$ наиболее вероятное число успехов $$k$$ удовлетворяет неравенству

$$Np-q \le k \le Np+p,$$

где $$q=1-p.$$

Подставим $$N=2n$$:

$$2np-(1-p)\le k \le 2np+p.$$

Упростим:

$$2np-1+p\le k \le 2np+p.$$

Перенесём всё, что содержит $$p$$, в одну сторону:

$$p(2n+1)-1\le k \le p(2n+1).$$

Тогда

$$p(2n+1)\ge k,$$

$$p(2n+1)\le k+1.$$

Делим на $$2n+1$$:

$$\frac{k}{2n+1}\le p \le \frac{k+1}{2n+1}.$$

Ответ

$$\frac{k}{2n+1}\le p \le \frac{k+1}{2n+1}.$$