Упр.241 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

а) сумма 7 выпадет по крайней мере дважды;
б) сумма 12 выпадет по крайней мере дважды;
в) сумма 6 выпадет 3 раза.

Вероятность выпадения нужной суммы в одном броске двух кубиков:

$$P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}, \qquad P(12)=\frac{1}{36}, \qquad P(6)=\frac{5}{36}.$$

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},$$
где $n=5$.

1. Сумма $7$ выпадает по крайней мере дважды:

   $$P(\ge 2)=1-P(0)-P(1).$$

   $$P(0)=\left(\frac{5}{6}\right)^5=\frac{3125}{7776},$$
   $$P(1)=C_5^1\cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 =5\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{625}{1296} =\frac{3125}{7776}.$$

   $$P(\ge 2)=1-\frac{3125}{7776}-\frac{3125}{7776} =\frac{1526}{7776}\approx 0{,}1962.$$

2. Сумма $12$ выпадает по крайней мере дважды:

   $$P(\ge 2)=1-P(0)-P(1).$$

   $$P(0)=\left(\frac{35}{36}\right)^5\approx 0{,}8674,$$
   $$P(1)=C_5^1\cdot \frac{1}{36}\cdot \left(\frac{35}{36}\right)^4\approx 0{,}1243.$$

   $$P(\ge 2)=1-0{,}8674-0{,}1243\approx 0{,}0083.$$

3. Сумма $6$ выпадает 3 раза:

   $$P(3)=C_5^3\cdot \left(\frac{5}{36}\right)^3\cdot \left(\frac{31}{36}\right)^2.$$

   $$P(3)=10\cdot \left(\frac{5}{36}\right)^3\cdot \left(\frac{31}{36}\right)^2\approx 0{,}0199.$$

Ответ

а) $0{,}1962$; б) $0{,}0083$; в) $0{,}0199$.