Упр.240 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. В подъезде горят $$5$$ лампочек. Вероятность того, что любая лампочка не перегорит в течение ближайшего месяца, равна $$0{,}2$$. Какова вероятность того, что в течение месяца: а) сгорят все лампочки; б) сгорит ровно одна лампочка; в) останутся гореть по крайней мере $$3$$ лампочки?

Обозначим вероятность того, что лампочка не перегорит за месяц, через $$p=0{,}2$$, тогда вероятность того, что она перегорит, равна $$q=1-p=0{,}8$$.

Лампочек $$n=5$$, испытания независимы. Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

а) Сгорят все лампочки.

Это значит, что перегорят все 5 лампочек:

$$P(5)=C_5^5\cdot 0{,}8^5=0{,}8^5=0{,}32768.$$

б) Сгорит ровно одна лампочка.

Тогда 4 лампочки не перегорят, а одна перегорит:

$$P(1)=C_5^1\cdot 0{,}8^1\cdot 0{,}2^4=5\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2^4=0{,}0064.$$

в) Останутся гореть по крайней мере 3 лампочки.

Это значит, что перегорят не более 2 лампочек:

$$P(\ge 3)=P(3)+P(4)+P(5).$$

Вычислим:

$$P(3)=C_5^3\cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^2=10\cdot 0{,}008\cdot 0{,}64=0{,}0512,$$

$$P(4)=C_5^4\cdot 0{,}2^4\cdot 0{,}8=5\cdot 0{,}0016\cdot 0{,}8=0{,}0064,$$

$$P(5)=C_5^5\cdot 0{,}2^5=0{,}00032.$$

Тогда

$$P(\ge 3)=0{,}0512+0{,}0064+0{,}00032=0{,}05792.$$

Ответ

а) $$0{,}32768$$; б) $$0{,}0064$$; в) $$0{,}05792$$.