Упр.226 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Сколько существует двоичных кодов (т. е. последовательностей из нулей и единиц) длины $$10$$, в которых: а) нет нулей; б) ровно одна единица; в) ровно $$3$$ единицы; г) хотя бы одна единица; д) нулей и единиц поровну; е) нулей больше, чем единиц?

Двоичный код длины $$10$$ — это последовательность из нулей и единиц. Число таких последовательностей с заданным количеством единиц равно сочетаниям $$C_{10}^k$$, где $$k$$ — число единиц.

1. а) Если нулей нет, то все 10 позиций заняты единицами. Такой код один:

   $$1^{10}=1$$

2. б) Ровно одна единица:

   $$C_{10}^1=10$$

3. в) Ровно 3 единицы:

   $$C_{10}^3=\frac{10!}{3!\,7!}=120$$

4. г) Хотя бы одна единица. Удобнее найти все коды и вычесть код без единиц:

   $$2^{10}-1=1024-1=1023$$

5. д) Нулей и единиц поровну, то есть по 5 нулей и 5 единиц:

   $$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=252$$

6. е) Нулей больше, чем единиц. Это возможно при числе единиц $$0,1,2,3,4$$:

   $$C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+C_{10}^3+C_{10}^4$$

   $$=1+10+45+120+210=386$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$10$$; в) $$120$$; г) $$1023$$; д) $$252$$; е) $$386$$.