Упр.197 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 197*. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Обозначим через $$x$$ вероятность того, что пациент действительно болен.

Тогда вероятность положительного теста складывается из двух случаев:

• пациент болен, и тест это подтверждает: $$0{,}86x$$;
• пациент не болен, но тест ошибочно положителен: $$0{,}06(1-x)$$.

По условию тест оказывается положительным у $$10\%$$ пациентов, то есть

$$0{,}86x+0{,}06(1-x)=0{,}1.$$

Решим уравнение:

$$ 0{,}86x+0{,}06-0{,}06x=0{,}1 \\ 0{,}8x=0{,}04 \\ x=0{,}05. $$

Теперь найдём вероятность того, что пациент действительно болен, если тест положительный:

$$ P=\frac{0{,}86\cdot 0{,}05}{0{,}1}=0{,}43. $$

Ответ

$$0{,}43$$