Упр.196 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Перед экзаменом по географии в классе из 25 учеников имеется 10 отлично подготовленных (знают все 30 вопросов), 7 — хорошо подготовленных (20 вопросов), 5 — удовлетворительно подготовленных (10 вопросов), 3 — плохо подготовленных (2 вопроса). Вызванный ученик ответил на 2 вопроса. С какой вероятностью он подготовлен отлично? Хорошо? Удовлетворительно? Плохо?

Подробный ответ

Обозначим события:

$$A_1$$ — ученик подготовлен отлично;
$$A_2$$ — ученик подготовлен хорошо;
$$A_3$$ — ученик подготовлен удовлетворительно;
$$A_4$$ — ученик подготовлен плохо;
$$B$$ — ученик ответил на 2 вопроса.

Тогда

$$P(A_1)=\frac{10}{25}=0{,}4,\quad P(A_2)=\frac{7}{25}=0{,}28,\quad P(A_3)=\frac{5}{25}=0{,}2,\quad P(A_4)=\frac{3}{25}=0{,}12.$$

Найдём условные вероятности события $$B$$ при каждом варианте подготовки:

$$P(B\mid A_1)=\frac{30}{30}\cdot\frac{29}{29}=1,$$
$$P(B\mid A_2)=\frac{20}{30}\cdot\frac{19}{29}=\frac{38}{87}\approx 0{,}436,$$
$$P(B\mid A_3)=\frac{10}{30}\cdot\frac{9}{29}=\frac{3}{29}\approx 0{,}103,$$
$$P(B\mid A_4)=\frac{2}{30}\cdot\frac{1}{29}=\frac{1}{435}\approx 0{,}0023.$$

По формуле полной вероятности:

$$P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)+P(A_4)P(B\mid A_4)$$
$$=0{,}4\cdot 1+0{,}28\cdot 0{,}436+0{,}2\cdot 0{,}103+0{,}12\cdot 0{,}0023\approx 0{,}543.$$

Теперь по формуле Байеса:

$$P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}.$$

Тогда

$$P(A_1\mid B)=\frac{0{,}4\cdot 1}{0{,}543}\approx 0{,}736,$$
$$P(A_2\mid B)=\frac{0{,}28\cdot 0{,}436}{0{,}543}\approx 0{,}225,$$
$$P(A_3\mid B)=\frac{0{,}2\cdot 0{,}103}{0{,}543}\approx 0{,}038,$$
$$P(A_4\mid B)=\frac{0{,}12\cdot 0{,}0023}{0{,}543}\approx 0{,}0005.$$