Упр.192 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 10 класс, Просвещение: 192. Студенты сдают в сессию три экзамена А. В, С. Вероятность сдачи по каждому из них составляет соответственно 0,6, 0,5, 0,9. Известно, что студент Разгуляев сдал не все экзамены. С какой вероятностью он сдал экзамен А? экзамен В? экзамен С?

Обозначим события: $$A$$ — студент сдал экзамен A, $$B$$ — сдал экзамен B, $$C$$ — сдал экзамен C.

По условию:

$$P(A)=0{,}6,\quad P(B)=0{,}5,\quad P(C)=0{,}9.$$

Студент не сдал все экзамены, значит рассматриваем событие

$$H=\overline{A\cap B\cap C}.$$

Тогда

$$P(H)=1-P(A\cap B\cap C)=1-0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}9=1-0{,}27=0{,}73.$$

Найдём условные вероятности по формуле Байеса:

$$P(A\mid H)=\frac{P(A\cap H)}{P(H)}.$$

Событие $$A\cap H$$ означает: экзамен A сдан, но не все экзамены сданы. Это возможно в трёх случаях:

$$A\cap B\cap \overline{C},\quad A\cap \overline{B}\cap C,\quad A\cap \overline{B}\cap \overline{C}.$$

Тогда

$$P(A\cap H)=0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}1+0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}9+0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}1=0{,}33.$$

Следовательно,

$$P(A\mid H)=\frac{0{,}33}{0{,}73}\approx 0{,}452.$$

Аналогично:

$$P(B\cap H)=0{,}4\cdot 0{,}5\cdot 0{,}9+0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}1+0{,}4\cdot 0{,}5\cdot 0{,}1=0{,}23,$$

поэтому

$$P(B\mid H)=\frac{0{,}23}{0{,}73}\approx 0{,}315.$$

И для экзамена C:

$$P(C\cap H)=0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}1+0{,}6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}9+0{,}4\cdot 0{,}5\cdot 0{,}9=0{,}63,$$

значит

$$P(C\mid H)=\frac{0{,}63}{0{,}73}\approx 0{,}863.$$

Ответ

$$P(A\mid H)\approx 0{,}452,\quad P(B\mid H)\approx 0{,}315,\quad P(C\mid H)\approx 0{,}863.$$