Упр.174 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Выясните, с какими из перечисленных ниже событий $$B$$, $$C$$, $$D$$ независимо событие $$A$$: $$A$$ = «на первом кубике выпало $$5$$ очков»; $$B$$ = «максимальное из двух чисел чётно»; $$C$$ = «сумма очков чётна»; $$D$$ = «произведение очков чётно».

Всего при бросании двух кубиков возможны $$36$$ равновозможных исходов.

Событие $$A$$: на первом кубике выпало $$5$$ очков. Тогда благоприятных исходов $$6$$, поэтому

$$P(A)=\frac{6}{36}=\frac16.$$

1) Событие $$B$$: «максимальное из двух чисел чётно».

Максимум чётен тогда и только тогда, когда оба числа не превосходят некоторого чётного числа и хотя бы одно из них чётно. Подсчёт даёт $$21$$ благоприятный исход, значит

$$P(B)=\frac{21}{36}=\frac7{12}.$$

Проверим независимость:

$$P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac16,$$

так как при $$A$$ на первом кубике стоит $$5$$, и максимум будет чётным только тогда, когда на втором кубике выпадет чётное число. Тогда

$$P(A)P(B)=\frac16\cdot\frac7{12}=\frac7{72}\ne \frac16.$$

Следовательно, $$A$$ и $$B$$ зависимы.

2) Событие $$C$$: «сумма очков чётна».

Сумма чётна, если оба числа одной чётности. Таких исходов $$18$$, поэтому

$$P(C)=\frac{18}{36}=\frac12.$$

При событии $$A$$ сумма будет чётной тогда и только тогда, когда на втором кубике выпало нечётное число. Таких исходов $$3$$, значит

$$P(A\cap C)=\frac{3}{36}=\frac1{12}.$$

С другой стороны,

$$P(A)P(C)=\frac16\cdot\frac12=\frac1{12}.$$

Значит, $$A$$ и $$C$$ независимы.

3) Событие $$D$$: «произведение очков чётно».

Произведение чётно, если хотя бы одно из чисел чётно. Противоположное событие — оба числа нечётны, таких исходов $$9$$. Тогда

$$P(D)=1-\frac{9}{36}=\frac34.$$

При событии $$A$$ произведение всегда чётно, так как $$5\cdot n$$ чётно только при чётном $$n$$. Благоприятных исходов $$3$$, поэтому

$$P(A\cap D)=\frac{3}{36}=\frac1{12}.$$

Но

$$P(A)P(D)=\frac16\cdot\frac34=\frac18,$$

а $$\frac1{12}\ne \frac18$$. Следовательно, $$A$$ и $$D$$ зависимы.

Ответ

Независимы события $$A$$ и $$C$$.