Упр.174 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)
A = «на первом кубике выпало 5 очков»;
В = «максимальное из двух чисел чётно»;
С = «сумма очков чётна»;
D = «произведение очков чётно».
Всего при бросании двух кубиков возможны $$36$$ равновозможных исходов.
Событие $$A$$: на первом кубике выпало $$5$$ очков. Тогда благоприятных исходов $$6$$, поэтому
$$P(A)=\frac{6}{36}=\frac16.$$
1) Событие $$B$$: «максимальное из двух чисел чётно».
Максимум чётен тогда и только тогда, когда оба числа не превосходят некоторого чётного числа и хотя бы одно из них чётно. Подсчёт даёт $$21$$ благоприятный исход, значит
$$P(B)=\frac{21}{36}=\frac7{12}.$$
Проверим независимость:
$$P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac16,$$
так как при $$A$$ на первом кубике стоит $$5$$, и максимум будет чётным только тогда, когда на втором кубике выпадет чётное число. Тогда
$$P(A)P(B)=\frac16\cdot\frac7{12}=\frac7{72}\ne \frac16.$$
Следовательно, $$A$$ и $$B$$ зависимы.
2) Событие $$C$$: «сумма очков чётна».
Сумма чётна, если оба числа одной чётности. Таких исходов $$18$$, поэтому
$$P(C)=\frac{18}{36}=\frac12.$$
При событии $$A$$ сумма будет чётной тогда и только тогда, когда на втором кубике выпало нечётное число. Таких исходов $$3$$, значит
$$P(A\cap C)=\frac{3}{36}=\frac1{12}.$$
С другой стороны,
$$P(A)P(C)=\frac16\cdot\frac12=\frac1{12}.$$
Значит, $$A$$ и $$C$$ независимы.
3) Событие $$D$$: «произведение очков чётно».
Произведение чётно, если хотя бы одно из чисел чётно. Противоположное событие — оба числа нечётны, таких исходов $$9$$. Тогда
$$P(D)=1-\frac{9}{36}=\frac34.$$
При событии $$A$$ произведение всегда чётно, так как $$5\cdot n$$ чётно только при чётном $$n$$. Благоприятных исходов $$3$$, поэтому
$$P(A\cap D)=\frac{3}{36}=\frac1{12}.$$
Но
$$P(A)P(D)=\frac16\cdot\frac34=\frac18,$$
а $$\frac1{12}\ne \frac18$$. Следовательно, $$A$$ и $$D$$ зависимы.
Ответ
Независимы события $$A$$ и $$C$$.
